好久沒更新blog了,今天要來和大家分享一個數學面試題
這個面試題是我聽過的題目中數一數二有趣的題目
題目如下:
有一個主人邀請了11個客人來他家玩,在客人回去之前,主人決定送其中一個客人一份禮物
主人想了一個遊戲來決定這個幸運的人,他要所有客人和自己圍成一圈
一開始禮物在主人手上,接著他會有一半的機率把禮物往左傳,一半的機率把禮物往右傳
拿到禮物的人也要以一半往左一半往右的機率把禮物傳出去
只要客人一碰到這個禮物,他就喪失拿到禮物的機會了,不過他還是得繼續幫忙傳禮物
換句話說,比其他10個客人晚碰到禮物的那個客人即可獲得禮物
現在問題來了,如果你是其中一個客人,請問你坐在圓圈中哪個位子獲得禮物的機會最高呢?
點我看參考解答
應該大多數人的第一感都是主人對面的那個位子吧XD
我們來看看會發生什麼事情
如下圖,假設將圓圈座位編號0到11,而且主人做在0號的位子
禮物會從主人手中開始傳,也就是0號位子
我們來先來算算看1號客人可以拿到禮物的機率是多少
1號客人要能拿到禮物的條件是,禮物從0號位子傳出去後,經過來來回回傳遞,最後2號客人比1號客人早碰到禮物
換句話說,就是從1號客人的右手邊開始傳,但是左手邊的人要比自己還先碰到禮物的機率
假設這個機率叫做P1吧
在仔細計算P1等於多少前,我們來看看其他客人拿到禮物的機率跟P1有甚麼關係
因為對稱性的關係,11號客人拿到禮物的機率顯然也是P1
那麼4號客人拿到禮物的機率會怎麼樣呢
在4號客人碰到禮物前,會有兩種情況發生:
(a) 3號客人比5號客人早碰到禮物
(b) 5號客人比3號客人早碰到禮物
假設這兩個情況的機率為Pa和Pb,那麼Pa+Pb = 1
如果遇到了(a)的狀況,這時候禮物會從3號客人,也就是4號客人的右手邊傳出去
而4號客人要拿到禮物的條件是比他左手邊的人還要晚碰到禮物
這個情況有沒有很熟悉呢?
沒錯! 這跟剛剛計算1號客人的情況很像,在(a)的狀況下,4號客人拿到禮物的機率就是P1
所以透過情況(a),4號客人拿到禮物的機率為Pa*P1
那情況(b)會怎麼樣呢
當情況(b)發生時,這時候禮物會從5號客人,也就是4號客人的左手邊傳出去
而4號客人要拿到禮物的條件是比他右手邊的人還要晚碰到禮物,這個11號客人遇到的情況也很像,也是P1
所以透過情況(b),4號客人拿到禮物的機率為Pb*P1
綜合以上的兩個情況,4號客人拿到禮物的機率為Pa*P1 + Pb*P1 = (Pa + Pb)*P1 = P1
這是一個令人稍為驚訝的結果,明明1號客人離主人位子比較接近,但是4號客人拿到禮物的機率卻跟1號客人一樣
如果我們用同樣的方式去計算其他客人拿到禮物的機率,會發現所有客人的機率都是P1
所以這題的結論是,坐哪個位子都沒有差別,拿到的禮物機率都是1/11
這真是我遇過的問題中數一數二有趣的題目了哈哈哈哈